module Graded.Modality.Morphism.Examples where
open import Tools.Bool
open import Tools.Empty
open import Tools.Function
open import Tools.Nat using (1+)
open import Tools.Product
open import Tools.PropositionalEquality
import Tools.Reasoning.PartialOrder
open import Tools.Relation
open import Tools.Sum using (_β_; injβ; injβ)
open import Tools.Unit
open import Graded.Modality
open import Graded.Modality.Instances.Affine as A
using (Affine; affineModality)
open import Graded.Modality.Instances.Erasure as E
using (Erasure; π; Ο)
open import Graded.Modality.Instances.Erasure.Modality as E
using (ErasureModality)
import Graded.Modality.Instances.Erasure.Properties as EP
open import Graded.Modality.Instances.Linear-or-affine as LA
using (Linear-or-affine; π; π; β€π; β€Ο; linear-or-affine)
open import Graded.Modality.Instances.Linearity as L
using (Linearity; linearityModality)
open import Graded.Modality.Instances.Unit
using (UnitModality; unit-has-nr)
open import Graded.Modality.Instances.Zero-one-many as ZOM
using (Zero-one-many; π; π; Ο; zero-one-many-modality)
open import Graded.Modality.Morphism
import Graded.Modality.Properties
private variable
πβ€π : Bool
A M : Set _
vβ-ok vβ-ok : A
p qβ qβ qβ qβ r : M
unitβerasure : β€ β Erasure
unitβerasure _ = Ο
erasureβunit : Erasure β β€
erasureβunit = _
erasureβzero-one-many : Erasure β Zero-one-many πβ€π
erasureβzero-one-many = Ξ» where
π β π
Ο β Ο
erasureβzero-one-many-Ξ£ : Erasure β Zero-one-many πβ€π
erasureβzero-one-many-Ξ£ = Ξ» where
π β π
Ο β π
zero-one-manyβerasure : Zero-one-many πβ€π β Erasure
zero-one-manyβerasure = Ξ» where
π β π
_ β Ο
linearityβlinear-or-affine : Linearity β Linear-or-affine
linearityβlinear-or-affine = Ξ» where
π β π
π β π
Ο β β€Ο
linear-or-affineβlinearity : Linear-or-affine β Linearity
linear-or-affineβlinearity = Ξ» where
π β π
π β π
β€π β Ο
β€Ο β Ο
affineβlinear-or-affine : Affine β Linear-or-affine
affineβlinear-or-affine = Ξ» where
π β π
π β β€π
Ο β β€Ο
affineβlinear-or-affine-Ξ£ : Affine β Linear-or-affine
affineβlinear-or-affine-Ξ£ = Ξ» where
π β π
π β π
Ο β β€Ο
linear-or-affineβaffine : Linear-or-affine β Affine
linear-or-affineβaffine = Ξ» where
π β π
π β π
β€π β π
β€Ο β Ο
affineβlinearity : Affine β Linearity
affineβlinearity =
linear-or-affineβlinearity ββ affineβlinear-or-affine
affineβlinearity-Ξ£ : Affine β Linearity
affineβlinearity-Ξ£ =
linear-or-affineβlinearity ββ affineβlinear-or-affine-Ξ£
linearityβaffine : Linearity β Affine
linearityβaffine =
linear-or-affineβaffine ββ linearityβlinear-or-affine
unitβ¨erasure :
let πβ = UnitModality
πβ = ErasureModality
in
Is-order-embedding πβ πβ unitβerasure
unitβ¨erasure = Ξ» where
.tr-order-reflecting _ β refl
.tr-β€ β _ , refl
.tr-β€-π _ β refl
.tr-β€-+ _ β _ , _ , refl , refl , refl
.tr-β€-Β· _ β _ , refl , refl
.tr-β€-β§ _ β _ , _ , refl , refl , refl
.tr-morphism β Ξ» where
.first-trivial-if-second-trivial
()
.tr-π-β€ β refl
.trivial-β-tr-β‘-π-β β injβ refl
.tr-π β refl
.tr-Ο β refl
.tr-+ β refl
.tr-Β· β refl
.tr-β§ β refl
where
open Is-morphism
open Is-order-embedding
Β¬erasureβ¨unit :
Β¬ Is-morphism ErasureModality UnitModality
erasureβunit
Β¬erasureβ¨unit m =
case Is-morphism.first-trivial-if-second-trivial m refl of Ξ» ()
erasureβ¨zero-one-many :
let πβ = ErasureModality
πβ = zero-one-many-modality πβ€π
in
Is-order-embedding πβ πβ erasureβzero-one-many
erasureβ¨zero-one-many {πβ€π} =
Ξ» where
.Is-order-embedding.tr-β€ β Ο , refl
.Is-order-embedding.tr-β€-π β tr-β€-π _
.Is-order-embedding.tr-β€-+ β tr-β€-+ _ _ _
.Is-order-embedding.tr-β€-Β· β tr-β€-Β· _ _ _
.Is-order-embedding.tr-β€-β§ β tr-β€-β§ _ _ _
.Is-order-embedding.tr-order-reflecting β
tr-order-reflecting _ _
.Is-order-embedding.tr-morphism β Ξ» where
.Is-morphism.first-trivial-if-second-trivial
()
.Is-morphism.tr-π-β€ β refl
.Is-morphism.trivial-β-tr-β‘-π-β β injβ ( tr-β‘-π _
, Ξ» { refl β refl }
)
.Is-morphism.tr-π β refl
.Is-morphism.tr-Ο β refl
.Is-morphism.tr-+ {p = p} β tr-+ p _
.Is-morphism.tr-Β· {p = p} β tr-Β· p _
.Is-morphism.tr-β§ {p = p} β β€-reflexive (tr-β§ p _)
where
module ππΟ = ZOM πβ€π
module Pβ = Graded.Modality.Properties ErasureModality
open Graded.Modality.Properties (zero-one-many-modality πβ€π)
open Tools.Reasoning.PartialOrder β€-poset
trβ² = erasureβzero-one-many
tr-β‘-π : β p β trβ² p β‘ π β p β‘ π
tr-β‘-π π _ = refl
tr-β‘-π Ο ()
tr-β€-π : β p β trβ² p ππΟ.β€ π β p E.β€ Ο
tr-β€-π π πβ‘πβ§π = β₯-elim (ππΟ.πβ§πβ’π (sym πβ‘πβ§π))
tr-β€-π Ο _ = refl
tr-+ : β p q β trβ² (p E.+ q) β‘ trβ² p ππΟ.+ trβ² q
tr-+ π π = refl
tr-+ π Ο = refl
tr-+ Ο π = refl
tr-+ Ο Ο = refl
tr-Β· : β p q β trβ² (p E.Β· q) β‘ trβ² p ππΟ.Β· trβ² q
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π Ο = refl
tr-Β· Ο π = refl
tr-Β· Ο Ο = refl
tr-β§ : β p q β trβ² (p E.β§ q) β‘ trβ² p ππΟ.β§ trβ² q
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π Ο = refl
tr-β§ Ο π = refl
tr-β§ Ο Ο = refl
tr-order-reflecting : β p q β trβ² p ππΟ.β€ trβ² q β p E.β€ q
tr-order-reflecting π π _ = refl
tr-order-reflecting Ο π _ = refl
tr-order-reflecting Ο Ο _ = refl
tr-order-reflecting π Ο ()
tr-β€-+ :
β p q r β
trβ² p ππΟ.β€ q ππΟ.+ r β
ββ Ξ» qβ² rβ² β trβ² qβ² ππΟ.β€ q Γ trβ² rβ² ππΟ.β€ r Γ p E.β€ qβ² E.+ rβ²
tr-β€-+ π π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-+ π π π πβ‘πβ§π = β₯-elim (ππΟ.πβ§πβ’π (sym πβ‘πβ§π))
tr-β€-+ π π π πβ‘πβ§π = β₯-elim (ππΟ.πβ§πβ’π (sym πβ‘πβ§π))
tr-β€-+ Ο _ _ _ = Ο , Ο , refl , refl , refl
tr-β€-+ π π Ο ()
tr-β€-+ π π π ()
tr-β€-+ π π Ο ()
tr-β€-+ π Ο π ()
tr-β€-+ π Ο π ()
tr-β€-+ π Ο Ο ()
tr-β€-Β· :
β p q r β
trβ² p ππΟ.β€ trβ² q ππΟ.Β· r β
β Ξ» rβ² β trβ² rβ² ππΟ.β€ r Γ p E.β€ q E.Β· rβ²
tr-β€-Β· π π _ _ = Ο , refl , refl
tr-β€-Β· π Ο π _ = π , refl , refl
tr-β€-Β· Ο _ _ _ = Ο , refl , refl
tr-β€-Β· π Ο π ()
tr-β€-Β· π Ο Ο ()
tr-β€-β§ :
β p q r β
trβ² p ππΟ.β€ q ππΟ.β§ r β
ββ Ξ» qβ² rβ² β trβ² qβ² ππΟ.β€ q Γ trβ² rβ² ππΟ.β€ r Γ p E.β€ qβ² E.β§ rβ²
tr-β€-β§ π π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-β§ π π π πβ€πβ§π = β₯-elim (ππΟ.πβ°πβ§π πβ€πβ§π)
tr-β€-β§ π π π πβ€πβ§π = β₯-elim (ππΟ.πβ°πβ§π πβ€πβ§π)
tr-β€-β§ π π π πβ‘πβ§π = β₯-elim (ππΟ.πβ§πβ’π (sym πβ‘πβ§π))
tr-β€-β§ Ο _ _ _ = Ο , Ο , refl , refl , refl
tr-β€-β§ π π Ο ()
tr-β€-β§ π π Ο ()
tr-β€-β§ π Ο π ()
tr-β€-β§ π Ο π ()
tr-β€-β§ π Ο Ο ()
zero-one-manyβ¨erasure :
let πβ = zero-one-many-modality πβ€π
πβ = ErasureModality
in
Is-morphism πβ πβ zero-one-manyβerasure
zero-one-manyβ¨erasure {πβ€π} = Ξ» where
.Is-morphism.first-trivial-if-second-trivial
()
.Is-morphism.tr-π-β€ β refl
.Is-morphism.trivial-β-tr-β‘-π-β β injβ ( tr-β‘-π _
, Ξ» { refl β refl }
)
.Is-morphism.tr-π β refl
.Is-morphism.tr-Ο β refl
.Is-morphism.tr-+ {p = p} β tr-+ p _
.Is-morphism.tr-Β· {p = p} β tr-Β· p _
.Is-morphism.tr-β§ {p = p} β β€-reflexive (tr-β§ p _)
where
module ππΟ = ZOM πβ€π
open Graded.Modality.Properties ErasureModality
trβ² = zero-one-manyβerasure
tr-πβ§π : trβ² ππΟ.πβ§π β‘ Ο
tr-πβ§π = ππΟ.πβ§π-elim
(Ξ» p β trβ² p β‘ Ο)
(Ξ» _ β refl)
(Ξ» _ β refl)
tr-Ο[πβ§π] : trβ² (Ο ππΟ.Β· ππΟ.πβ§π) β‘ Ο
tr-Ο[πβ§π] = cong trβ² (ππΟ.ΟΒ·β’π ππΟ.πβ§πβ’π)
tr-β‘-π : β p β trβ² p β‘ π β p β‘ π
tr-β‘-π π _ = refl
tr-β‘-π π ()
tr-β‘-π Ο ()
tr-+ : β p q β trβ² (p ππΟ.+ q) β‘ trβ² p E.+ trβ² q
tr-+ π π = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π Ο = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π Ο = refl
tr-+ Ο π = refl
tr-+ Ο π = refl
tr-+ Ο Ο = refl
tr-Β· : β p q β trβ² (p ππΟ.Β· q) β‘ trβ² p E.Β· trβ² q
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π Ο = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π Ο = refl
tr-Β· Ο π = refl
tr-Β· Ο π = refl
tr-Β· Ο Ο = refl
tr-β§ : β p q β trβ² (p ππΟ.β§ q) β‘ trβ² p E.β§ trβ² q
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π π = tr-πβ§π
tr-β§ π Ο = refl
tr-β§ π π = tr-πβ§π
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π Ο = refl
tr-β§ Ο π = refl
tr-β§ Ο π = refl
tr-β§ Ο Ο = refl
Β¬zero-one-manyβ¨erasure :
Β¬ Is-order-embedding
(zero-one-many-modality πβ€π)
ErasureModality
zero-one-manyβerasure
Β¬zero-one-manyβ¨erasure m =
case Is-order-embedding.tr-injective m {p = π} {q = Ο} refl of Ξ» ()
erasureβ¨linearity :
let πβ = ErasureModality
πβ = linearityModality
in
Is-order-embedding πβ πβ erasureβzero-one-many
erasureβ¨linearity = erasureβ¨zero-one-many
linearityβ¨erasure :
let πβ = linearityModality
πβ = ErasureModality
in
Is-morphism πβ πβ zero-one-manyβerasure
linearityβ¨erasure = zero-one-manyβ¨erasure
Β¬linearityβ¨erasure :
Β¬ Is-order-embedding linearityModality ErasureModality
zero-one-manyβerasure
Β¬linearityβ¨erasure = Β¬zero-one-manyβ¨erasure
erasureβ¨affine :
let πβ = ErasureModality
πβ = affineModality
in
Is-order-embedding πβ πβ erasureβzero-one-many
erasureβ¨affine = erasureβ¨zero-one-many
affineβ¨erasure :
let πβ = affineModality
πβ = ErasureModality
in
Is-morphism πβ πβ zero-one-manyβerasure
affineβ¨erasure = zero-one-manyβ¨erasure
Β¬affineβ¨erasure :
Β¬ Is-order-embedding affineModality ErasureModality
zero-one-manyβerasure
Β¬affineβ¨erasure = Β¬zero-one-manyβ¨erasure
linearityβ¨linear-or-affine :
let πβ = linearityModality
πβ = linear-or-affine
in
Is-order-embedding πβ πβ linearityβlinear-or-affine
linearityβ¨linear-or-affine = Ξ» where
.Is-order-embedding.tr-β€ β Ο , refl
.Is-order-embedding.tr-β€-π β tr-β€-π _
.Is-order-embedding.tr-β€-+ β tr-β€-+ _ _ _
.Is-order-embedding.tr-β€-Β· β tr-β€-Β· _ _ _
.Is-order-embedding.tr-β€-β§ β tr-β€-β§ _ _ _
.Is-order-embedding.tr-order-reflecting β tr-order-reflecting _ _
.Is-order-embedding.tr-morphism β Ξ» where
.Is-morphism.first-trivial-if-second-trivial
()
.Is-morphism.tr-π-β€ β refl
.Is-morphism.trivial-β-tr-β‘-π-β β injβ ( tr-β‘-π _
, Ξ» { refl β refl }
)
.Is-morphism.tr-π β refl
.Is-morphism.tr-Ο β refl
.Is-morphism.tr-+ {p = p} β tr-+ p _
.Is-morphism.tr-Β· β tr-Β· _ _
.Is-morphism.tr-β§ β tr-β§ _ _
where
module Pβ = Graded.Modality.Properties linearityModality
open Graded.Modality.Properties linear-or-affine
trβ² = linearityβlinear-or-affine
tr-β‘-π : β p β trβ² p β‘ π β p β‘ π
tr-β‘-π π _ = refl
tr-β‘-π π ()
tr-β‘-π Ο ()
tr-β€-π : β p β trβ² p LA.β€ π β p L.β€ π
tr-β€-π π _ = refl
tr-β€-π Ο _ = refl
tr-β€-π π ()
tr-+ : β p q β trβ² (p L.+ q) β‘ trβ² p LA.+ trβ² q
tr-+ π π = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π Ο = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π Ο = refl
tr-+ Ο π = refl
tr-+ Ο π = refl
tr-+ Ο Ο = refl
tr-Β· : β p q β trβ² (p L.Β· q) β‘ trβ² p LA.Β· trβ² q
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π Ο = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π Ο = refl
tr-Β· Ο π = refl
tr-Β· Ο π = refl
tr-Β· Ο Ο = refl
tr-β§ : β p q β trβ² (p L.β§ q) LA.β€ trβ² p LA.β§ trβ² q
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π π = β€-refl
tr-β§ π Ο = refl
tr-β§ π π = β€-refl
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π Ο = refl
tr-β§ Ο π = refl
tr-β§ Ο π = refl
tr-β§ Ο Ο = refl
tr-order-reflecting : β p q β trβ² p LA.β€ trβ² q β p L.β€ q
tr-order-reflecting π π _ = refl
tr-order-reflecting π π _ = refl
tr-order-reflecting Ο π _ = refl
tr-order-reflecting Ο π _ = refl
tr-order-reflecting Ο Ο _ = refl
tr-order-reflecting π π ()
tr-order-reflecting π Ο ()
tr-order-reflecting π π ()
tr-order-reflecting π Ο ()
tr-β€-+ :
β p q r β
trβ² p LA.β€ q LA.+ r β
ββ Ξ» qβ² rβ² β trβ² qβ² LA.β€ q Γ trβ² rβ² LA.β€ r Γ p L.β€ qβ² L.+ rβ²
tr-β€-+ π π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-+ π π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-+ π π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-+ Ο _ _ _ = Ο , Ο , refl , refl , refl
tr-β€-+ π π π ()
tr-β€-+ π π β€π ()
tr-β€-+ π π β€Ο ()
tr-β€-+ π π π ()
tr-β€-+ π π π ()
tr-β€-+ π π β€π ()
tr-β€-+ π π β€Ο ()
tr-β€-+ π β€π π ()
tr-β€-+ π β€π π ()
tr-β€-+ π β€π β€π ()
tr-β€-+ π β€π β€Ο ()
tr-β€-+ π β€Ο π ()
tr-β€-+ π β€Ο π ()
tr-β€-+ π β€Ο β€π ()
tr-β€-+ π β€Ο β€Ο ()
tr-β€-+ π π π ()
tr-β€-+ π π β€π ()
tr-β€-+ π π β€Ο ()
tr-β€-+ π π π ()
tr-β€-+ π π β€π ()
tr-β€-+ π π β€Ο ()
tr-β€-+ π β€π π ()
tr-β€-+ π β€π π ()
tr-β€-+ π β€π β€π ()
tr-β€-+ π β€π β€Ο ()
tr-β€-+ π β€Ο π ()
tr-β€-+ π β€Ο π ()
tr-β€-+ π β€Ο β€π ()
tr-β€-+ π β€Ο β€Ο ()
tr-β€-Β· :
β p q r β
trβ² p LA.β€ trβ² q LA.Β· r β
β Ξ» rβ² β trβ² rβ² LA.β€ r Γ p L.β€ q L.Β· rβ²
tr-β€-Β· π π π _ = Ο , refl , refl
tr-β€-Β· π π π _ = Ο , refl , refl
tr-β€-Β· π π β€π _ = Ο , refl , refl
tr-β€-Β· π π β€Ο _ = Ο , refl , refl
tr-β€-Β· π π π _ = π , refl , refl
tr-β€-Β· π Ο π _ = π , refl , refl
tr-β€-Β· π π π _ = π , refl , refl
tr-β€-Β· Ο _ _ _ = Ο , refl , refl
tr-β€-Β· π π π ()
tr-β€-Β· π π β€π ()
tr-β€-Β· π π β€Ο ()
tr-β€-Β· π Ο π ()
tr-β€-Β· π Ο β€π ()
tr-β€-Β· π Ο β€Ο ()
tr-β€-Β· π π π ()
tr-β€-Β· π π π ()
tr-β€-Β· π π β€π ()
tr-β€-Β· π π β€Ο ()
tr-β€-Β· π π π ()
tr-β€-Β· π π β€π ()
tr-β€-Β· π π β€Ο ()
tr-β€-Β· π Ο π ()
tr-β€-Β· π Ο π ()
tr-β€-Β· π Ο β€π ()
tr-β€-Β· π Ο β€Ο ()
tr-β€-β§ :
β p q r β
trβ² p LA.β€ q LA.β§ r β
ββ Ξ» qβ² rβ² β trβ² qβ² LA.β€ q Γ trβ² rβ² LA.β€ r Γ p L.β€ qβ² L.β§ rβ²
tr-β€-β§ π π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-β§ π π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-β§ Ο _ _ _ = Ο , Ο , refl , refl , refl
tr-β€-β§ π π π ()
tr-β€-β§ π π β€π ()
tr-β€-β§ π π β€Ο ()
tr-β€-β§ π π π ()
tr-β€-β§ π π π ()
tr-β€-β§ π π β€π ()
tr-β€-β§ π π β€Ο ()
tr-β€-β§ π β€π π ()
tr-β€-β§ π β€π π ()
tr-β€-β§ π β€π β€π ()
tr-β€-β§ π β€π β€Ο ()
tr-β€-β§ π β€Ο π ()
tr-β€-β§ π β€Ο π ()
tr-β€-β§ π β€Ο β€π ()
tr-β€-β§ π β€Ο β€Ο ()
tr-β€-β§ π π π ()
tr-β€-β§ π π π ()
tr-β€-β§ π π β€π ()
tr-β€-β§ π π β€Ο ()
tr-β€-β§ π π π ()
tr-β€-β§ π π β€π ()
tr-β€-β§ π π β€Ο ()
tr-β€-β§ π β€π π ()
tr-β€-β§ π β€π π ()
tr-β€-β§ π β€π β€π ()
tr-β€-β§ π β€π β€Ο ()
tr-β€-β§ π β€Ο π ()
tr-β€-β§ π β€Ο π ()
tr-β€-β§ π β€Ο β€π ()
tr-β€-β§ π β€Ο β€Ο ()
linear-or-affineβ¨linearity :
let πβ = linear-or-affine
πβ = linearityModality
in
Is-morphism πβ πβ linear-or-affineβlinearity
linear-or-affineβ¨linearity = Ξ» where
.Is-morphism.first-trivial-if-second-trivial
()
.Is-morphism.tr-π-β€ β refl
.Is-morphism.trivial-β-tr-β‘-π-β β injβ ( tr-β‘-π _
, Ξ» { refl β refl }
)
.Is-morphism.tr-π β refl
.Is-morphism.tr-Ο β refl
.Is-morphism.tr-+ {p = p} β tr-+ p _
.Is-morphism.tr-Β· β tr-Β· _ _
.Is-morphism.tr-β§ β β€-reflexive (tr-β§ _ _)
where
open Graded.Modality.Properties linearityModality
trβ² = linear-or-affineβlinearity
tr-β‘-π : β p β trβ² p β‘ π β p β‘ π
tr-β‘-π π _ = refl
tr-β‘-π π ()
tr-β‘-π β€π ()
tr-β‘-π β€Ο ()
tr-+ : β p q β trβ² (p LA.+ q) β‘ trβ² p L.+ trβ² q
tr-+ π π = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π β€π = refl
tr-+ π β€Ο = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π β€π = refl
tr-+ π β€Ο = refl
tr-+ β€π π = refl
tr-+ β€π π = refl
tr-+ β€π β€π = refl
tr-+ β€π β€Ο = refl
tr-+ β€Ο π = refl
tr-+ β€Ο π = refl
tr-+ β€Ο β€π = refl
tr-+ β€Ο β€Ο = refl
tr-Β· : β p q β trβ² (p LA.Β· q) β‘ trβ² p L.Β· trβ² q
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π β€π = refl
tr-Β· π β€Ο = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π β€π = refl
tr-Β· π β€Ο = refl
tr-Β· β€π π = refl
tr-Β· β€π π = refl
tr-Β· β€π β€π = refl
tr-Β· β€π β€Ο = refl
tr-Β· β€Ο π = refl
tr-Β· β€Ο π = refl
tr-Β· β€Ο β€π = refl
tr-Β· β€Ο β€Ο = refl
tr-β§ : β p q β trβ² (p LA.β§ q) β‘ trβ² p L.β§ trβ² q
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π β€π = refl
tr-β§ π β€Ο = refl
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π β€π = refl
tr-β§ π β€Ο = refl
tr-β§ β€π π = refl
tr-β§ β€π π = refl
tr-β§ β€π β€π = refl
tr-β§ β€π β€Ο = refl
tr-β§ β€Ο π = refl
tr-β§ β€Ο π = refl
tr-β§ β€Ο β€π = refl
tr-β§ β€Ο β€Ο = refl
Β¬linear-or-affineβ¨linearity :
Β¬ Is-order-embedding linear-or-affine linearityModality
linear-or-affineβlinearity
Β¬linear-or-affineβ¨linearity m =
case Is-order-embedding.tr-injective m {p = β€π} {q = β€Ο} refl of Ξ» ()
affineβ¨linear-or-affine :
let πβ = affineModality
πβ = linear-or-affine
in
Is-order-embedding πβ πβ affineβlinear-or-affine
affineβ¨linear-or-affine = Ξ» where
.Is-order-embedding.tr-β€ β Ο , refl
.Is-order-embedding.tr-β€-π β tr-β€-π _
.Is-order-embedding.tr-β€-+ β tr-β€-+ _ _ _
.Is-order-embedding.tr-β€-Β· β tr-β€-Β· _ _ _
.Is-order-embedding.tr-β€-β§ β tr-β€-β§ _ _ _
.Is-order-embedding.tr-order-reflecting β tr-order-reflecting _ _
.Is-order-embedding.tr-morphism β Ξ» where
.Is-morphism.first-trivial-if-second-trivial
()
.Is-morphism.tr-π-β€ β refl
.Is-morphism.trivial-β-tr-β‘-π-β β injβ ( tr-β‘-π _
, Ξ» { refl β refl }
)
.Is-morphism.tr-π β refl
.Is-morphism.tr-Ο β refl
.Is-morphism.tr-+ {p = p} β tr-+ p _
.Is-morphism.tr-Β· β tr-Β· _ _
.Is-morphism.tr-β§ β β€-reflexive (tr-β§ _ _)
where
module Pβ = Graded.Modality.Properties affineModality
open Graded.Modality.Properties linear-or-affine
trβ² = affineβlinear-or-affine
tr-β‘-π : β p β trβ² p β‘ π β p β‘ π
tr-β‘-π π _ = refl
tr-β‘-π π ()
tr-β‘-π Ο ()
tr-β€-π : β p β trβ² p LA.β€ π β p A.β€ π
tr-β€-π π _ = refl
tr-β€-π Ο _ = refl
tr-β€-π π ()
tr-+ : β p q β trβ² (p A.+ q) β‘ trβ² p LA.+ trβ² q
tr-+ π π = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π Ο = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π Ο = refl
tr-+ Ο π = refl
tr-+ Ο π = refl
tr-+ Ο Ο = refl
tr-Β· : β p q β trβ² (p A.Β· q) β‘ trβ² p LA.Β· trβ² q
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π Ο = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π Ο = refl
tr-Β· Ο π = refl
tr-Β· Ο π = refl
tr-Β· Ο Ο = refl
tr-β§ : β p q β trβ² (p A.β§ q) β‘ trβ² p LA.β§ trβ² q
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π Ο = refl
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π Ο = refl
tr-β§ Ο π = refl
tr-β§ Ο π = refl
tr-β§ Ο Ο = refl
tr-order-reflecting : β p q β trβ² p LA.β€ trβ² q β p A.β€ q
tr-order-reflecting π π _ = refl
tr-order-reflecting π π _ = refl
tr-order-reflecting π π _ = refl
tr-order-reflecting Ο π _ = refl
tr-order-reflecting Ο π _ = refl
tr-order-reflecting Ο Ο _ = refl
tr-order-reflecting π π ()
tr-order-reflecting π Ο ()
tr-order-reflecting π Ο ()
tr-β€-+ :
β p q r β
trβ² p LA.β€ q LA.+ r β
ββ Ξ» qβ² rβ² β trβ² qβ² LA.β€ q Γ trβ² rβ² LA.β€ r Γ p A.β€ qβ² A.+ rβ²
tr-β€-+ π π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-+ π π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-+ π π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-+ π π β€π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-+ π π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-+ π β€π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-+ Ο _ _ _ = Ο , Ο , refl , refl , refl
tr-β€-+ π π π ()
tr-β€-+ π π β€π ()
tr-β€-+ π π β€Ο ()
tr-β€-+ π π π ()
tr-β€-+ π π π ()
tr-β€-+ π π β€π ()
tr-β€-+ π π β€Ο ()
tr-β€-+ π β€π π ()
tr-β€-+ π β€π π ()
tr-β€-+ π β€π β€π ()
tr-β€-+ π β€π β€Ο ()
tr-β€-+ π β€Ο π ()
tr-β€-+ π β€Ο π ()
tr-β€-+ π β€Ο β€π ()
tr-β€-+ π β€Ο β€Ο ()
tr-β€-+ π π β€Ο ()
tr-β€-+ π π π ()
tr-β€-+ π π β€π ()
tr-β€-+ π π β€Ο ()
tr-β€-+ π β€π π ()
tr-β€-+ π β€π β€π ()
tr-β€-+ π β€π β€Ο ()
tr-β€-+ π β€Ο π ()
tr-β€-+ π β€Ο π ()
tr-β€-+ π β€Ο β€π ()
tr-β€-+ π β€Ο β€Ο ()
tr-β€-Β· :
β p q r β
trβ² p LA.β€ trβ² q LA.Β· r β
β Ξ» rβ² β trβ² rβ² LA.β€ r Γ p A.β€ q A.Β· rβ²
tr-β€-Β· π π π _ = Ο , refl , refl
tr-β€-Β· π π π _ = Ο , refl , refl
tr-β€-Β· π π β€π _ = Ο , refl , refl
tr-β€-Β· π π β€Ο _ = Ο , refl , refl
tr-β€-Β· π π π _ = π , refl , refl
tr-β€-Β· π Ο π _ = π , refl , refl
tr-β€-Β· π π π _ = Ο , refl , refl
tr-β€-Β· π π π _ = Ο , refl , refl
tr-β€-Β· π π β€π _ = Ο , refl , refl
tr-β€-Β· π π β€Ο _ = Ο , refl , refl
tr-β€-Β· π π π _ = π , refl , refl
tr-β€-Β· π π π _ = π , refl , refl
tr-β€-Β· π π β€π _ = π , refl , refl
tr-β€-Β· π Ο π _ = π , refl , refl
tr-β€-Β· Ο _ _ _ = Ο , refl , refl
tr-β€-Β· π π π ()
tr-β€-Β· π π β€π ()
tr-β€-Β· π π β€Ο ()
tr-β€-Β· π Ο π ()
tr-β€-Β· π Ο β€π ()
tr-β€-Β· π Ο β€Ο ()
tr-β€-Β· π π β€Ο ()
tr-β€-Β· π Ο π ()
tr-β€-Β· π Ο β€π ()
tr-β€-Β· π Ο β€Ο ()
tr-β€-β§ :
β p q r β
trβ² p LA.β€ q LA.β§ r β
ββ Ξ» qβ² rβ² β trβ² qβ² LA.β€ q Γ trβ² rβ² LA.β€ r Γ p A.β€ qβ² A.β§ rβ²
tr-β€-β§ π π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-β§ π π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-β§ π π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-β§ π π β€π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-β§ π π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-β§ π π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-β§ π π β€π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-β§ π β€π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-β§ π β€π π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-β§ π β€π β€π _ = π , π , refl , refl , refl
tr-β€-β§ Ο _ _ _ = Ο , Ο , refl , refl , refl
tr-β€-β§ π π π ()
tr-β€-β§ π π β€π ()
tr-β€-β§ π π β€Ο ()
tr-β€-β§ π π π ()
tr-β€-β§ π π π ()
tr-β€-β§ π π β€π ()
tr-β€-β§ π π β€Ο ()
tr-β€-β§ π β€π π ()
tr-β€-β§ π β€π π ()
tr-β€-β§ π β€π β€π ()
tr-β€-β§ π β€π β€Ο ()
tr-β€-β§ π β€Ο π ()
tr-β€-β§ π β€Ο π ()
tr-β€-β§ π β€Ο β€π ()
tr-β€-β§ π β€Ο β€Ο ()
tr-β€-β§ π π β€Ο ()
tr-β€-β§ π π β€Ο ()
tr-β€-β§ π β€π β€Ο ()
tr-β€-β§ π β€Ο π ()
tr-β€-β§ π β€Ο π ()
tr-β€-β§ π β€Ο β€π ()
tr-β€-β§ π β€Ο β€Ο ()
linear-or-affineβ¨affine :
let πβ = linear-or-affine
πβ = affineModality
in
Is-morphism πβ πβ linear-or-affineβaffine
linear-or-affineβ¨affine = Ξ» where
.Is-morphism.first-trivial-if-second-trivial
()
.Is-morphism.tr-π-β€ β refl
.Is-morphism.trivial-β-tr-β‘-π-β β injβ ( tr-β‘-π _
, Ξ» { refl β refl }
)
.Is-morphism.tr-π β refl
.Is-morphism.tr-Ο β refl
.Is-morphism.tr-+ {p = p} β tr-+ p _
.Is-morphism.tr-Β· β tr-Β· _ _
.Is-morphism.tr-β§ β β€-reflexive (tr-β§ _ _)
where
open Graded.Modality.Properties affineModality
trβ² = linear-or-affineβaffine
tr-β‘-π : β p β trβ² p β‘ π β p β‘ π
tr-β‘-π π _ = refl
tr-β‘-π π ()
tr-β‘-π β€π ()
tr-β‘-π β€Ο ()
tr-+ : β p q β trβ² (p LA.+ q) β‘ trβ² p A.+ trβ² q
tr-+ π π = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π β€π = refl
tr-+ π β€Ο = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π β€π = refl
tr-+ π β€Ο = refl
tr-+ β€π π = refl
tr-+ β€π π = refl
tr-+ β€π β€π = refl
tr-+ β€π β€Ο = refl
tr-+ β€Ο π = refl
tr-+ β€Ο π = refl
tr-+ β€Ο β€π = refl
tr-+ β€Ο β€Ο = refl
tr-Β· : β p q β trβ² (p LA.Β· q) β‘ trβ² p A.Β· trβ² q
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π β€π = refl
tr-Β· π β€Ο = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π β€π = refl
tr-Β· π β€Ο = refl
tr-Β· β€π π = refl
tr-Β· β€π π = refl
tr-Β· β€π β€π = refl
tr-Β· β€π β€Ο = refl
tr-Β· β€Ο π = refl
tr-Β· β€Ο π = refl
tr-Β· β€Ο β€π = refl
tr-Β· β€Ο β€Ο = refl
tr-β§ : β p q β trβ² (p LA.β§ q) β‘ trβ² p A.β§ trβ² q
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π β€π = refl
tr-β§ π β€Ο = refl
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π β€π = refl
tr-β§ π β€Ο = refl
tr-β§ β€π π = refl
tr-β§ β€π π = refl
tr-β§ β€π β€π = refl
tr-β§ β€π β€Ο = refl
tr-β§ β€Ο π = refl
tr-β§ β€Ο π = refl
tr-β§ β€Ο β€π = refl
tr-β§ β€Ο β€Ο = refl
Β¬linear-or-affineβ¨affine :
Β¬ Is-order-embedding linear-or-affine affineModality
linear-or-affineβaffine
Β¬linear-or-affineβ¨affine m =
case Is-order-embedding.tr-injective m {p = π} {q = β€π} refl of Ξ» ()
affineβ¨linearity :
let πβ = affineModality
πβ = linearityModality
in
Is-morphism πβ πβ affineβlinearity
affineβ¨linearity = Ξ» where
.Is-morphism.first-trivial-if-second-trivial
()
.Is-morphism.tr-π-β€ β refl
.Is-morphism.trivial-β-tr-β‘-π-β β injβ ( tr-β‘-π _
, Ξ» { refl β refl }
)
.Is-morphism.tr-π β refl
.Is-morphism.tr-Ο β refl
.Is-morphism.tr-+ {p = p} β tr-+ p _
.Is-morphism.tr-Β· β tr-Β· _ _
.Is-morphism.tr-β§ {p = p} β β€-reflexive (tr-β§ p _)
where
open Graded.Modality.Properties linearityModality
trβ² = affineβlinearity
tr-β‘-π : β p β trβ² p β‘ π β p β‘ π
tr-β‘-π π _ = refl
tr-β‘-π π ()
tr-β‘-π Ο ()
tr-+ : β p q β trβ² (p A.+ q) β‘ trβ² p L.+ trβ² q
tr-+ π π = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π Ο = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π Ο = refl
tr-+ Ο π = refl
tr-+ Ο π = refl
tr-+ Ο Ο = refl
tr-Β· : β p q β trβ² (p A.Β· q) β‘ trβ² p L.Β· trβ² q
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π Ο = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π Ο = refl
tr-Β· Ο π = refl
tr-Β· Ο π = refl
tr-Β· Ο Ο = refl
tr-β§ : β p q β trβ² (p A.β§ q) β‘ trβ² p L.β§ trβ² q
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π Ο = refl
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π Ο = refl
tr-β§ Ο π = refl
tr-β§ Ο π = refl
tr-β§ Ο Ο = refl
Β¬affineβ¨linearity :
Β¬ Is-order-embedding affineModality linearityModality
affineβlinearity
Β¬affineβ¨linearity m =
case Is-order-embedding.tr-injective m {p = π} {q = Ο} refl of Ξ» ()
linearityβ¨affine :
let πβ = linearityModality
πβ = affineModality
in
Is-morphism πβ πβ linearityβaffine
linearityβ¨affine = Ξ» where
.Is-morphism.first-trivial-if-second-trivial
()
.Is-morphism.tr-π-β€ β refl
.Is-morphism.trivial-β-tr-β‘-π-β β injβ ( tr-β‘-π _
, Ξ» { refl β refl }
)
.Is-morphism.tr-π β refl
.Is-morphism.tr-Ο β refl
.Is-morphism.tr-+ {p = p} β tr-+ p _
.Is-morphism.tr-Β· β tr-Β· _ _
.Is-morphism.tr-β§ {p = p} β tr-β§ p _
where
open Graded.Modality.Properties affineModality
trβ² = linearityβaffine
tr-β‘-π : β p β trβ² p β‘ π β p β‘ π
tr-β‘-π π _ = refl
tr-β‘-π π ()
tr-β‘-π Ο ()
tr-+ : β p q β trβ² (p L.+ q) β‘ trβ² p A.+ trβ² q
tr-+ π π = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π Ο = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π π = refl
tr-+ π Ο = refl
tr-+ Ο π = refl
tr-+ Ο π = refl
tr-+ Ο Ο = refl
tr-Β· : β p q β trβ² (p L.Β· q) β‘ trβ² p A.Β· trβ² q
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π Ο = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π π = refl
tr-Β· π Ο = refl
tr-Β· Ο π = refl
tr-Β· Ο π = refl
tr-Β· Ο Ο = refl
tr-β§ : β p q β trβ² (p L.β§ q) A.β€ trβ² p A.β§ trβ² q
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π π = β€-refl
tr-β§ π Ο = refl
tr-β§ π π = β€-refl
tr-β§ π π = refl
tr-β§ π Ο = refl
tr-β§ Ο π = refl
tr-β§ Ο π = refl
tr-β§ Ο Ο = refl
Β¬linearityβ¨affine :
Β¬ Is-order-embedding linearityModality affineModality
linearityβaffine
Β¬linearityβ¨affine m =
case Is-order-embedding.tr-order-reflecting m {p = π} {q = π} refl of
Ξ» ()
erasureβ¨zero-one-many-Ξ£ :
Is-Ξ£-order-embedding
ErasureModality
(zero-one-many-modality πβ€π)
erasureβzero-one-many
erasureβzero-one-many-Ξ£
erasureβ¨zero-one-many-Ξ£ {πβ€π} = record
{ tr-Ξ£-morphism = record
{ tr-β€-tr-Ξ£ = Ξ» where
{p = π} β refl
{p = Ο} β refl
; tr-Ξ£-π-β‘ =
Ξ» _ β refl
; tr-Ξ£-β€-π = Ξ» where
{p = Ο} _ β refl
{p = π} ()
; tr-Β·-tr-Ξ£-β€ = Ξ» where
{p = π} {q = _} β refl
{p = Ο} {q = π} β refl
{p = Ο} {q = Ο} β refl
}
; tr-β€-tr-Ξ£-β = Ξ» where
{p = π} {q = π} _ β Ο , refl , refl
{p = π} {q = Ο} {r = π} _ β π , refl , refl
{p = π} {q = Ο} {r = π} πβ‘πβ§π β β₯-elim (ππΟ.πβ§πβ’π (sym πβ‘πβ§π))
{p = π} {q = Ο} {r = Ο} ()
{p = Ο} _ β Ο , refl , refl
}
where
module ππΟ = ZOM πβ€π
erasureβ¨linearity-Ξ£ :
Is-Ξ£-order-embedding ErasureModality linearityModality
erasureβzero-one-many erasureβzero-one-many-Ξ£
erasureβ¨linearity-Ξ£ = erasureβ¨zero-one-many-Ξ£
erasureβ¨linearity-Ξ£-not-monotone :
Β¬ (β {p q} β
p E.β€ q β
erasureβzero-one-many-Ξ£ p L.β€ erasureβzero-one-many-Ξ£ q)
erasureβ¨linearity-Ξ£-not-monotone mono =
case mono {p = Ο} {q = π} refl of Ξ» ()
erasureβ¨affine-Ξ£ :
Is-Ξ£-order-embedding ErasureModality affineModality
erasureβzero-one-many erasureβzero-one-many-Ξ£
erasureβ¨affine-Ξ£ = erasureβ¨zero-one-many-Ξ£
affineβ¨linear-or-affine-Ξ£ :
Is-Ξ£-order-embedding affineModality linear-or-affine
affineβlinear-or-affine affineβlinear-or-affine-Ξ£
affineβ¨linear-or-affine-Ξ£ = record
{ tr-Ξ£-morphism = record
{ tr-β€-tr-Ξ£ = Ξ» where
{p = π} β refl
{p = π} β refl
{p = Ο} β refl
; tr-Ξ£-π-β‘ =
Ξ» _ β refl
; tr-Ξ£-β€-π = Ξ» where
{p = π} _ β refl
{p = Ο} _ β refl
{p = π} ()
; tr-Β·-tr-Ξ£-β€ = Ξ» where
{p = π} {q = _} β refl
{p = π} {q = π} β refl
{p = π} {q = π} β refl
{p = π} {q = Ο} β refl
{p = Ο} {q = π} β refl
{p = Ο} {q = π} β refl
{p = Ο} {q = Ο} β refl
}
; tr-β€-tr-Ξ£-β = Ξ» where
{p = π} {q = π} _ β Ο , refl , refl
{p = π} {q = π} {r = π} _ β π , refl , refl
{p = π} {q = Ο} {r = π} _ β π , refl , refl
{p = π} {q = π} _ β Ο , refl , refl
{p = π} {q = π} {r = π} _ β π , refl , refl
{p = π} {q = π} {r = π} _ β π , refl , refl
{p = π} {q = π} {r = β€π} _ β π , refl , refl
{p = π} {q = Ο} {r = π} _ β π , refl , refl
{p = Ο} _ β Ο , refl , refl
{p = π} {q = π} {r = π} ()
{p = π} {q = π} {r = β€π} ()
{p = π} {q = π} {r = β€Ο} ()
{p = π} {q = Ο} {r = π} ()
{p = π} {q = Ο} {r = β€π} ()
{p = π} {q = Ο} {r = β€Ο} ()
{p = π} {q = π} {r = β€Ο} ()
{p = π} {q = Ο} {r = π} ()
{p = π} {q = Ο} {r = β€π} ()
{p = π} {q = Ο} {r = β€Ο} ()
}
affineβlinear-or-affine-Ξ£-not-monotone :
Β¬ (β {p q} β
p A.β€ q β
affineβlinear-or-affine-Ξ£ p LA.β€ affineβlinear-or-affine-Ξ£ q)
affineβlinear-or-affine-Ξ£-not-monotone mono =
case mono {p = π} {q = π} refl of Ξ» ()
Ξ£-order-embedding-but-not-order-embedding :
ββ Ξ» (Mβ Mβ : Set) β
ββ Ξ» (πβ : Modality Mβ) (πβ : Modality Mβ) β
ββ Ξ» (tr tr-Ξ£ : Mβ β Mβ) β
Is-order-embedding πβ πβ tr Γ
Is-Ξ£-morphism πβ πβ tr tr-Ξ£ Γ
Is-Ξ£-order-embedding πβ πβ tr tr-Ξ£ Γ
Β¬ Is-morphism πβ πβ tr-Ξ£ Γ
Β¬ Is-order-embedding πβ πβ tr-Ξ£
Ξ£-order-embedding-but-not-order-embedding =
Affine , Linear-or-affine
, affineModality
, linear-or-affine
, affineβlinear-or-affine , affineβlinear-or-affine-Ξ£
, affineβ¨linear-or-affine
, Is-Ξ£-order-embedding.tr-Ξ£-morphism affineβ¨linear-or-affine-Ξ£
, affineβ¨linear-or-affine-Ξ£
, affineβlinear-or-affine-Ξ£-not-monotone ββ Is-morphism.tr-monotone
, affineβlinear-or-affine-Ξ£-not-monotone ββ
Is-order-embedding.tr-monotone
affineβ¨linearity-Ξ£ :
Is-Ξ£-morphism affineModality linearityModality
affineβlinearity affineβlinearity-Ξ£
affineβ¨linearity-Ξ£ = record
{ tr-β€-tr-Ξ£ = Ξ» where
{p = π} β refl
{p = π} β refl
{p = Ο} β refl
; tr-Ξ£-π-β‘ =
Ξ» _ β refl
; tr-Ξ£-β€-π = Ξ» where
{p = π} _ β refl
{p = Ο} _ β refl
{p = π} ()
; tr-Β·-tr-Ξ£-β€ = Ξ» where
{p = π} {q = _} β refl
{p = π} {q = π} β refl
{p = π} {q = π} β refl
{p = π} {q = Ο} β refl
{p = Ο} {q = π} β refl
{p = Ο} {q = π} β refl
{p = Ο} {q = Ο} β refl
}
affineβlinearity-Ξ£-not-monotone :
Β¬ (β {p q} β
p A.β€ q β
affineβlinearity-Ξ£ p L.β€ affineβlinearity-Ξ£ q)
affineβlinearity-Ξ£-not-monotone mono =
case mono {p = π} {q = π} refl of Ξ» ()
Β¬affineβ¨linearity-Ξ£ :
Β¬ Is-Ξ£-order-embedding
affineModality
linearityModality
affineβlinearity affineβlinearity-Ξ£
Β¬affineβ¨linearity-Ξ£ m =
case
Is-Ξ£-order-embedding.tr-β€-tr-Ξ£-β m {p = π} {q = Ο} {r = Ο} refl
of Ξ» where
(π , () , _)
(π , _ , ())
(Ο , _ , ())
opaque
unitβerasure-nr-preserving :
Is-nr-preserving-morphism
UnitModality
ErasureModality
β¦ unit-has-nr β¦
unitβerasure
unitβerasure-nr-preserving = Ξ» where
.tr-nr β refl
where
open Is-nr-preserving-morphism
opaque
unitβerasure-no-nr-glb-preserving :
Is-no-nr-glb-preserving-morphism
UnitModality
ErasureModality
unitβerasure
unitβerasure-no-nr-glb-preserving = Ξ» where
.tr-nrα΅’-GLB _ β
_ , GLB-const (Ξ» { 0 β refl ; (1+ i) β refl})
.tr-nrα΅’-π-GLB _ β
_ , GLB-const (Ξ» { 0 β refl ; (1+ i) β refl})
where
open Is-no-nr-glb-preserving-morphism
open Graded.Modality.Properties ErasureModality
opaque
erasureβ¨zero-one-many-nr-preserving :
Is-nr-preserving-morphism
ErasureModality
(zero-one-many-modality πβ€π)
β¦ has-nrβ = ZOM.zero-one-many-has-nr πβ€π β¦
erasureβzero-one-many
erasureβ¨zero-one-many-nr-preserving {πβ€π} = Ξ» where
.tr-nr {r} {z} β β€-reflexive (tr-nrβ² πβ€π _ r z _ _)
where
open Is-nr-preserving-morphism
open Graded.Modality.Properties (zero-one-many-modality πβ€π)
tr-nrβ² :
β πβ€π β
let module ππΟβ² = ZOM πβ€π
tr = erasureβzero-one-many in
β p r z s n β
tr (E.nr p r z s n) β‘
ππΟβ².nr (tr p) (tr r) (tr z) (tr s) (tr n)
tr-nrβ² = Ξ» where
false π π π π π β refl
false π π π π Ο β refl
false π π π Ο π β refl
false π π π Ο Ο β refl
false π π Ο π π β refl
false π π Ο π Ο β refl
false π π Ο Ο π β refl
false π π Ο Ο Ο β refl
false π Ο π π π β refl
false π Ο π π Ο β refl
false π Ο π Ο π β refl
false π Ο π Ο Ο β refl
false π Ο Ο π π β refl
false π Ο Ο π Ο β refl
false π Ο Ο Ο π β refl
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false Ο π π π π β refl
false Ο π π π Ο β refl
false Ο π π Ο π β refl
false Ο π π Ο Ο β refl
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true Ο Ο Ο π Ο β refl
true Ο Ο Ο Ο π β refl
true Ο Ο Ο Ο Ο β refl
opaque
erasureβ¨zero-one-many-no-nr-glb-preserving :
Is-no-nr-glb-preserving-morphism
ErasureModality
(zero-one-many-modality πβ€π)
erasureβzero-one-many
erasureβ¨zero-one-many-no-nr-glb-preserving {πβ€π} = Ξ» where
.tr-nrα΅’-GLB p-glb β _ , ZOM.nr-nrα΅’-GLB πβ€π _
.tr-nrα΅’-π-GLB _ β _ , ZOM.nr-nrα΅’-GLB πβ€π _
where
open Is-no-nr-glb-preserving-morphism
opaque
zero-one-manyβerasure-nr-preserving :
Is-nr-preserving-morphism
(zero-one-many-modality πβ€π)
ErasureModality
β¦ ZOM.zero-one-many-has-nr πβ€π β¦
β¦ E.erasure-has-nr β¦
zero-one-manyβerasure
zero-one-manyβerasure-nr-preserving {πβ€π} = Ξ» where
.tr-nr {r} β β€-reflexive (tr-nrβ² πβ€π _ r _ _ _)
where
open Is-nr-preserving-morphism
open Graded.Modality.Properties ErasureModality
tr-nrβ² :
β πβ€π β
let module ππΟβ² = ZOM πβ€π
tr = zero-one-manyβerasure
in
β p r z s n β
tr (ππΟβ².nr p r z s n) β‘
E.nr (tr p) (tr r) (tr z) (tr s) (tr n)
tr-nrβ² = Ξ» where
false π π π π π β refl
false π π π π π β refl
false π π π π Ο β refl
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true Ο π π Ο Ο β refl
true Ο π π π π β refl
true Ο π π π π β refl
true Ο π π π Ο β refl
true Ο π π π π β refl
true Ο π π π π β refl
true Ο π π π Ο β refl
true Ο π π Ο π β refl
true Ο π π Ο π β refl
true Ο π π Ο Ο β refl
true Ο π Ο π π β refl
true Ο π Ο π π β refl
true Ο π Ο π Ο β refl
true Ο π Ο π π β refl
true Ο π Ο π π β refl
true Ο π Ο π Ο β refl
true Ο π Ο Ο π β refl
true Ο π Ο Ο π β refl
true Ο π Ο Ο Ο β refl
true Ο Ο π π π β refl
true Ο Ο π π π β refl
true Ο Ο π π Ο β refl
true Ο Ο π π π β refl
true Ο Ο π π π β refl
true Ο Ο π π Ο β refl
true Ο Ο π Ο π β refl
true Ο Ο π Ο π β refl
true Ο Ο π Ο Ο β refl
true Ο Ο π π π β refl
true Ο Ο π π π β refl
true Ο Ο π π Ο β refl
true Ο Ο π π π β refl
true Ο Ο π π π β refl
true Ο Ο π π Ο β refl
true Ο Ο π Ο π β refl
true Ο Ο π Ο π β refl
true Ο Ο π Ο Ο β refl
true Ο Ο Ο π π β refl
true Ο Ο Ο π π β refl
true Ο Ο Ο π Ο β refl
true Ο Ο Ο π π β refl
true Ο Ο Ο π π β refl
true Ο Ο Ο π Ο β refl
true Ο Ο Ο Ο π β refl
true Ο Ο Ο Ο π β refl
true Ο Ο Ο Ο Ο β refl
opaque
zero-one-manyβerasure-no-nr-glb-preserving :
Is-no-nr-glb-preserving-morphism
(zero-one-many-modality πβ€π)
ErasureModality
zero-one-manyβerasure
zero-one-manyβerasure-no-nr-glb-preserving = Ξ» where
.tr-nrα΅’-GLB _ β EP.Erasure-nrα΅’-glb _ _ _
.tr-nrα΅’-π-GLB _ β EP.Erasure-nrα΅’-glb _ _ _
where
open Is-no-nr-glb-preserving-morphism
opaque
erasureβlinearity-nr-preserving :
Is-nr-preserving-morphism
ErasureModality
linearityModality
β¦ E.erasure-has-nr β¦
β¦ L.zero-one-many-has-nr β¦
erasureβzero-one-many
erasureβlinearity-nr-preserving = erasureβ¨zero-one-many-nr-preserving
opaque
erasureβaffine-nr-preserving :
Is-nr-preserving-morphism
ErasureModality
affineModality
β¦ E.erasure-has-nr β¦
β¦ A.zero-one-many-has-nr β¦
erasureβzero-one-many
erasureβaffine-nr-preserving = erasureβ¨zero-one-many-nr-preserving
opaque
erasureβlinearity-no-nr-glb-preserving :
Is-no-nr-glb-preserving-morphism
ErasureModality
linearityModality
erasureβzero-one-many
erasureβlinearity-no-nr-glb-preserving = erasureβ¨zero-one-many-no-nr-glb-preserving
opaque
erasureβaffine-no-nr-glb-preserving :
Is-no-nr-glb-preserving-morphism
ErasureModality
affineModality
erasureβzero-one-many
erasureβaffine-no-nr-glb-preserving = erasureβ¨zero-one-many-no-nr-glb-preserving
opaque
linearityβerasure-nr-preserving :
Is-nr-preserving-morphism
linearityModality
ErasureModality
β¦ L.zero-one-many-has-nr β¦
β¦ E.erasure-has-nr β¦
zero-one-manyβerasure
linearityβerasure-nr-preserving = zero-one-manyβerasure-nr-preserving
opaque
affineβerasure-nr-preserving :
Is-nr-preserving-morphism
affineModality
ErasureModality
β¦ A.zero-one-many-has-nr β¦
β¦ E.erasure-has-nr β¦
zero-one-manyβerasure
affineβerasure-nr-preserving = zero-one-manyβerasure-nr-preserving
opaque
affineβerasure-no-nr-glb-preserving :
Is-no-nr-glb-preserving-morphism
affineModality
ErasureModality
zero-one-manyβerasure
affineβerasure-no-nr-glb-preserving = zero-one-manyβerasure-no-nr-glb-preserving
opaque
linearityβerasure-no-nr-glb-preserving :
Is-no-nr-glb-preserving-morphism
linearityModality
ErasureModality
zero-one-manyβerasure
linearityβerasure-no-nr-glb-preserving = zero-one-manyβerasure-no-nr-glb-preserving
opaque
linearityβ¨linear-or-affine-nr-preserving :
Is-nr-preserving-morphism
linearityModality
linear-or-affine
β¦ L.zero-one-many-has-nr β¦
β¦ LA.linear-or-affine-has-nr β¦
linearityβlinear-or-affine
linearityβ¨linear-or-affine-nr-preserving = Ξ» where
.tr-nr {r} β tr-nrβ² _ r _ _ _
where
open Is-nr-preserving-morphism
tr : Linearity β Linear-or-affine
tr = linearityβlinear-or-affine
tr-nrβ² :
β p r z s n β
tr (L.nr p r z s n) LA.β€
LA.nr (tr p) (tr r) (tr z) (tr s) (tr n)
tr-nrβ² = Ξ» where
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linearityβ¨linear-or-affine-no-nr-glb-preserving :
Is-no-nr-glb-preserving-morphism
linearityModality
linear-or-affine
linearityβlinear-or-affine
linearityβ¨linear-or-affine-no-nr-glb-preserving = Ξ» where
.tr-nrα΅’-GLB _ β _ , LA.nr-nrα΅’-GLB _
.tr-nrα΅’-π-GLB _ β _ , LA.nr-nrα΅’-GLB _
where
open Is-no-nr-glb-preserving-morphism
opaque
linear-or-affineβ¨linearity-nr-preserving :
Is-nr-preserving-morphism
linear-or-affine
linearityModality
β¦ LA.linear-or-affine-has-nr β¦
β¦ L.zero-one-many-has-nr β¦
linear-or-affineβlinearity
linear-or-affineβ¨linearity-nr-preserving = Ξ» where
.tr-nr {r} β β€-reflexive (tr-nrβ² _ r _ _ _)
where
open Is-nr-preserving-morphism
open Graded.Modality.Properties linearityModality
tr : Linear-or-affine β Linearity
tr = linear-or-affineβlinearity
tr-nrβ² :
β p r z s n β
tr (LA.nr p r z s n) β‘
L.nr (tr p) (tr r) (tr z) (tr s) (tr n)
tr-nrβ² = Ξ» where
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opaque
linear-or-affineβ¨linearity-no-nr-glb-preserving :
Is-no-nr-glb-preserving-morphism
linear-or-affine
linearityModality
linear-or-affineβlinearity
linear-or-affineβ¨linearity-no-nr-glb-preserving = Ξ» where
.tr-nrα΅’-GLB _ β _ , L.nr-nrα΅’-GLB _
.tr-nrα΅’-π-GLB _ β _ , L.nr-nrα΅’-GLB _
where
open Is-no-nr-glb-preserving-morphism
opaque
affineβ¨linear-or-affine-nr-preserving :
Is-nr-preserving-morphism
affineModality
linear-or-affine
β¦ A.zero-one-many-has-nr β¦
β¦ LA.linear-or-affine-has-nr β¦
affineβlinear-or-affine
affineβ¨linear-or-affine-nr-preserving = Ξ» where
.tr-nr {r} β β€-reflexive (tr-nrβ² _ r _ _ _)
where
open Is-nr-preserving-morphism
open Graded.Modality.Properties linear-or-affine
tr : Affine β Linear-or-affine
tr = affineβlinear-or-affine
tr-nrβ² :
β p r z s n β
tr (A.nr p r z s n) β‘
LA.nr (tr p) (tr r) (tr z) (tr s) (tr n)
tr-nrβ² = Ξ» where
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opaque
affineβ¨linear-or-affine-no-nr-glb-preserving :
Is-no-nr-glb-preserving-morphism
affineModality
linear-or-affine
affineβlinear-or-affine
affineβ¨linear-or-affine-no-nr-glb-preserving = Ξ» where
.tr-nrα΅’-GLB _ β _ , LA.nr-nrα΅’-GLB _
.tr-nrα΅’-π-GLB _ β _ , LA.nr-nrα΅’-GLB _
where
open Is-no-nr-glb-preserving-morphism
opaque
linear-or-affineβ¨affine-nr-preserving :
Is-nr-preserving-morphism
linear-or-affine
affineModality
β¦ LA.linear-or-affine-has-nr β¦
β¦ A.zero-one-many-has-nr β¦
linear-or-affineβaffine
linear-or-affineβ¨affine-nr-preserving = Ξ» where
.tr-nr {r} β β€-reflexive (tr-nrβ² _ r _ _ _)
where
open Is-nr-preserving-morphism
open Graded.Modality.Properties affineModality
tr : Linear-or-affine β Affine
tr = linear-or-affineβaffine
tr-nrβ² :
β p r z s n β
tr (LA.nr p r z s n) β‘
A.nr (tr p) (tr r) (tr z) (tr s) (tr n)
tr-nrβ² = Ξ» where
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opaque
linear-or-affineβ¨affine-no-nr-glb-preserving :
Is-no-nr-glb-preserving-morphism
linear-or-affine
affineModality
linear-or-affineβaffine
linear-or-affineβ¨affine-no-nr-glb-preserving = Ξ» where
.tr-nrα΅’-GLB _ β _ , A.nr-nrα΅’-GLB _
.tr-nrα΅’-π-GLB _ β _ , A.nr-nrα΅’-GLB _
where
open Is-no-nr-glb-preserving-morphism
opaque
affineβ¨linearity-nr-preserving :
Is-nr-preserving-morphism
affineModality
linearityModality
β¦ A.zero-one-many-has-nr β¦
β¦ L.zero-one-many-has-nr β¦
affineβlinearity
affineβ¨linearity-nr-preserving = Ξ» where
.tr-nr {r} β β€-reflexive (tr-nrβ² _ r _ _ _)
where
open Is-nr-preserving-morphism
open Graded.Modality.Properties linearityModality
tr : Affine β Linearity
tr = affineβlinearity
tr-nrβ² :
β p r z s n β
tr (A.nr p r z s n) β‘
L.nr (tr p) (tr r) (tr z) (tr s) (tr n)
tr-nrβ² = Ξ» where
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affineβ¨linearity-no-nr-glb-preserving :
Is-no-nr-glb-preserving-morphism
affineModality
linearityModality
affineβlinearity
affineβ¨linearity-no-nr-glb-preserving = Ξ» where
.tr-nrα΅’-GLB _ β _ , L.nr-nrα΅’-GLB _
.tr-nrα΅’-π-GLB _ β _ , L.nr-nrα΅’-GLB _
where
open Is-no-nr-glb-preserving-morphism
opaque
linearityβ¨affine-nr-preserving :
Is-nr-preserving-morphism
linearityModality
affineModality
β¦ L.zero-one-many-has-nr β¦
β¦ A.zero-one-many-has-nr β¦
linearityβaffine
linearityβ¨affine-nr-preserving = Ξ» where
.tr-nr {r} β tr-nrβ² _ r _ _ _
where
open Is-nr-preserving-morphism
tr : Linearity β Affine
tr = linearityβaffine
tr-nrβ² :
β p r z s n β
tr (L.nr p r z s n) A.β€
A.nr (tr p) (tr r) (tr z) (tr s) (tr n)
tr-nrβ² = Ξ» where
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opaque
linearityβ¨affine-no-nr-glb-preserving :
Is-no-nr-glb-preserving-morphism
linearityModality
affineModality
linearityβaffine
linearityβ¨affine-no-nr-glb-preserving = Ξ» where
.tr-nrα΅’-GLB _ β _ , A.nr-nrα΅’-GLB _
.tr-nrα΅’-π-GLB _ β _ , A.nr-nrα΅’-GLB _
where
open Is-no-nr-glb-preserving-morphism
opaque
unitβerasure-nr-reflecting :
Is-nr-reflecting-morphism
UnitModality
ErasureModality
β¦ unit-has-nr β¦
unitβerasure
unitβerasure-nr-reflecting = Ξ» where
.tr-β€-nr _ β
_ , _ , _ , refl , refl , refl , refl
where
open Is-nr-reflecting-morphism
opaque
unitβerasure-no-nr-glb-reflecting :
Is-no-nr-glb-reflecting-morphism
UnitModality
ErasureModality
unitβerasure
unitβerasure-no-nr-glb-reflecting = Ξ» where
.tr-β€-no-nr _ _ _ β
_ , _ , _ , _ , _ , refl , refl , refl
, GLB-constβ² , GLB-constβ² , refl
.tr-nrα΅’-glb _ β
_ , GLB-constβ²
where
open Is-no-nr-glb-reflecting-morphism
open Graded.Modality.Properties UnitModality
opaque
erasureβ¨zero-one-many-nr-reflecting :
Is-nr-reflecting-morphism
ErasureModality
(zero-one-many-modality πβ€π)
β¦ has-nrβ = ZOM.zero-one-many-has-nr πβ€π β¦
erasureβzero-one-many
erasureβ¨zero-one-many-nr-reflecting = Ξ» where
.tr-β€-nr {r} β tr-β€-nrβ² _ _ _ r _ _ _
where
open Is-nr-reflecting-morphism
tr-β€-nrβ² :
β πβ€π β
let module ππΟβ² = ZOM πβ€π
tr = erasureβzero-one-many in
β q p r zβ sβ nβ β
tr q ππΟβ².β€ ππΟβ².nr (tr p) (tr r) zβ sβ nβ β
ββ Ξ» zβ sβ nβ β
tr zβ ππΟβ².β€ zβ Γ tr sβ ππΟβ².β€ sβ Γ tr nβ ππΟβ².β€ nβ Γ
q E.β€ E.nr p r zβ sβ nβ
tr-β€-nrβ² = Ξ» where
_ π π π π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
_ π π Ο π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
_ π Ο π π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
_ π Ο Ο π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
_ Ο _ _ _ _ _ _ β Ο , Ο , Ο , refl , refl , refl , refl
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_ π Ο Ο Ο π π ()
_ π Ο Ο Ο π Ο ()
_ π Ο Ο Ο π π ()
_ π Ο Ο Ο π π ()
_ π Ο Ο Ο π Ο ()
_ π Ο Ο Ο Ο π ()
_ π Ο Ο Ο Ο π ()
_ π Ο Ο Ο Ο Ο ()
opaque
erasureβlinearity-nr-reflecting :
Is-nr-reflecting-morphism
ErasureModality
linearityModality
β¦ E.erasure-has-nr β¦
β¦ L.zero-one-many-has-nr β¦
erasureβzero-one-many
erasureβlinearity-nr-reflecting = erasureβ¨zero-one-many-nr-reflecting
opaque
erasureβaffine-nr-reflecting :
Is-nr-reflecting-morphism
ErasureModality
affineModality
β¦ E.erasure-has-nr β¦
β¦ A.zero-one-many-has-nr β¦
erasureβzero-one-many
erasureβaffine-nr-reflecting = erasureβ¨zero-one-many-nr-reflecting
opaque
linearityβ¨linear-or-affine-nr-reflecting :
Is-nr-reflecting-morphism
linearityModality
linear-or-affine
β¦ L.zero-one-many-has-nr β¦
β¦ LA.linear-or-affine-has-nr β¦
linearityβlinear-or-affine
linearityβ¨linear-or-affine-nr-reflecting = Ξ» where
.tr-β€-nr {r} β tr-β€-nrβ² _ _ r _ _ _
where
open Is-nr-reflecting-morphism
tr : Linearity β Linear-or-affine
tr = linearityβlinear-or-affine
tr-β€-nrβ² :
β q p r zβ sβ nβ β
tr q LA.β€ LA.nr (tr p) (tr r) zβ sβ nβ β
ββ Ξ» zβ sβ nβ β
tr zβ LA.β€ zβ Γ tr sβ LA.β€ sβ Γ tr nβ LA.β€ nβ Γ
q L.β€ L.nr p r zβ sβ nβ
tr-β€-nrβ² = Ξ» where
Ο _ _ _ _ _ _ β Ο , Ο , Ο , refl , refl , refl , refl
π π π π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
π π π π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
π π Ο π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
π π π π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
π π π π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
π π Ο π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
π Ο π π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
π Ο π π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
π Ο Ο π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
π π π π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
π π π π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
π π π π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
π π π π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
π π π π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
π π π π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
π Ο π π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
π Ο π π π π _ β π , π , π , refl , refl , refl , refl
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opaque
affineβ¨linear-or-affine-nr-reflecting :
Is-nr-reflecting-morphism
affineModality
linear-or-affine
β¦ A.zero-one-many-has-nr β¦
β¦ LA.linear-or-affine-has-nr β¦
affineβlinear-or-affine
affineβ¨linear-or-affine-nr-reflecting = Ξ» where
.tr-β€-nr {r} β tr-β€-nrβ² _ _ r _ _ _
where
open Is-nr-reflecting-morphism
tr : Affine β Linear-or-affine
tr = affineβlinear-or-affine
tr-β€-nrβ² :
β q p r zβ sβ nβ β
tr q LA.β€ LA.nr (tr p) (tr r) zβ sβ nβ β
ββ Ξ» zβ sβ nβ β
tr zβ LA.β€ zβ Γ tr sβ LA.β€ sβ Γ tr nβ LA.β€ nβ Γ
q A.β€ A.nr p r zβ sβ nβ
tr-β€-nrβ² = Ξ» where
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